Limit Matematika – Pengertian, Rumus, Dan Contoh Soal

Posted on

Rumusbilangan.com – Pengertian, Rumus, Contoh Soal Limit Matematika dan pembahasannya lengkap. Limit terdiri dari limit fungsi, barisan, hingga, dan tak hingga, dan masih banyak lain sebagainya.

Assalamualaikum wr wb dan salam sejahtera untuk semua sahabat rumusbilangan.com.

Alhamdulillah pada di hari yang cerah ini¬†rumusbilangan.com akan mengajak anda semua berselancar membahas materi mengenai Limit. Apa sih itu Limit? Limit dalam bahasa jawa yaitu tanah yang sering dilewati sehingga membentuk suatu jalan setapak yang limit. hehe tapi bukan itu pengertiannya ūüėÄ

limit matematika

Pengertian Limit Matematika

Limit Matematika adalah suatu konsep dalam ilmu matematik yang biasa digunakan untuk menjelaskan suatu sifat dari suatu fungsi, saat agumen telah mendekati pada suatu titik tak terhingga atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.

Limit biasa dipakai pada kalkulus dan cabang lainnya dari analisis matematika untuk mencari turunan dan lanjutan.

Pada pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah untuk dikerjakan.

Limit sebuah fungsi

Apabila  f(x) merupakan fungsi real dan c adalah bilangan real, maka bentuk rumusnya yaitu:

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

maka sama dengan f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c.

Pada contoh diatas, limit dari f(x) apabila x mendekati c, yaitu L. Perlu kita ingat, bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) {\displaystyle \neq } L. Bahkan, fungsi pada f(x) tidak perlu terdefinisikan lagi pada titik c. Berikut adalah kedua contoh dibawah ini yang menggambarkan sifat.

Sebagai contoh:

{\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} pada saat x mendekati nilai 2. Didalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik ke-2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

Baca Juga :   Cara Mencari FPB Dengan Pohon Faktor (Mudah + Cepat)
f(1.9)f(1.99)f(1.999)f(2)f(2.001)f(2.01)f(2.1)
0.41210.40120.4001{\displaystyle \Rightarrow } 0.4{\displaystyle \Leftarrow }0.39980.39880.3882

Apabila semakin x mendekati 2, maka nilai f(x) mendekati 0.4, dan sebab itu {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4}.

Dalam kasus di mana {\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)}, f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh:

{\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if}}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{if}}x=2.\end{matrix}}\right.}

Limit g(x) pada saat x mendekat 2 ialah 0.4 (sama seperti f(x), namun {\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)}: g tidak kontinyu pada titik x  =  2.

Atau bisa juga diambil contoh di mana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c: {\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}

Pada contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya sama tetap dengan 2, karena semakin x mendekati 1, maka f(x) semakin mendekati 2:

f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001)f(1.01)f(1.1)
1.951.991.999{\displaystyle \Rightarrow }2{\displaystyle \Leftarrow }2.0012.0102.10

Kesimpulannya:

Maka x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, oleh karena itu limit darif(x)}{\displaystyle f(x)} ialah 2.

Definisi formal tentang Limit

Definisi formal Limit didefinisikan  apabila {\displaystyle f} ialah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung sebuah titik {\displaystyle c} (dengan kemungkinan pengecualian pada titik {\displaystyle c}) dan {\displaystyle L} merupakan bilangan real,

maka: {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

Artinya bahwa untuk setiap {\displaystyle \varepsilon \ >0} didapati {\displaystyle \delta \ >0} yang untuk semua {\displaystyle x} di mana {\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }, maka berlaku {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }.

Limit Sebuah Fungsi pada Titik Tak Terhingga

Konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif ataupun negatif ialah konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka.  Ini bukanlah berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun artinya yaitu x menjadi sangat besar untuk tak terhingga atau sangat kecil untuk tak terhingga yang negatif.

Contohnya, lihatlah: {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}.

  1. f(100) = 1.9802
  2. f(1000) = 1.9980
  3. f(10000) = 1.9998

Yaitu semakin x bertambah besar, maka nilai f(x)nya mendekati 2. Dalam contoh diatas, dapat dikatakan bahwa:

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}

Limit barisan

Perhatikanlah barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 …

Baca Juga :   Bangun Datar - Pengertian, Jenis-Jenis, Rumus Luas dan Keliling

Kita dapat amati bahwa angka-angka tersebut mendekati angka 1.8 yaitu limit dari barisan tersebut.

Secara formal, misalnya¬†x1,¬†x2, … ialah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil (L)¬†sebagai¬†limit¬†barisan ini dan menuliskannya sebagai:

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}

yang itu berarti: Untuk setiap bilangan riil¬†őĶ > 0 terdapat sebuah bilangan asli¬†n¬†sehingga untuk semuanya:¬†n¬†>¬†n, |xn¬†‚ąí¬†L| < őĶ.

Secara Intuitif¬†berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang telah kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn¬†‚ąí¬†L| ialah jarak antara¬†x¬†dan¬†L.

Tidak semua barisan memiliki limit. Jiks ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, jika tidak, disebut divergen. Barisan konvergen dapat ditunjukkan bahwa hanya memiliki satu limit.

Limit barisan dan limit fungsi saling berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah merupkan limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Namun di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Demikianlah pembahasan kita mengenai Pengertian Limit Matematika. Semoga bermanfaat …

Materi Lainnya :