Persamaan Diferensial – Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Posted on

Rumusbilangan.com- Pada bab ini akan dibahas materi mengenai persamaan diferensial akan dibahas secara rinci mulai dari pengertian, rumus, dan contoh soal persamaan diferensial beserta pembahasannya.

Langsung saja kita bahas…

Diferensial
Diferensial dan Persamaan Diferensial

Pengertian Diferensial

Diferensial memiliki arti turunan. Turunan adalah suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya.

Misalnya pada fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus telah dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang ilmuan yang bernama Sir Isaac Newton (1642 – 1727).

Turunan (diferensial) difungsikan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam sebuah geometri dan mekanika.

Diferensial juga diartikan sebagai tingkat perubahan suatu fungsi atas adanya perubahan variabel bebas dari fungsinya tersebut.

Misalkan fungsi :

konstanta

 

Maka, dengan y sebagai variabel terikat dan sebagai variabel bebasnya, artinya nilai dipengaruhi oleh nilai x.

Jadi, diferensial dapat diartikan sebagai tingkat perubahan dari setiap variabel sebagai tanggapan terhadap suatu perubahan dalam variabel x.

 

konstanta

Di dalam sebuah kasus ekonomi dapat dicontohkan sebagai berikut:

  • Misalkan pada sebuah fungsi permintaan, hubungan antara jumlah barang yang diminta dengan tingkat harga. Adanya perubahan tingkat suatu harga pada suatu titik tertentu akan mempengaruhi jumlah barang yang diminta. Maka, pada setiap kasus dan setiap titik bisa sama ataupun berbeda, bergantung terhadap jenis fungsi permintaannya itu sendiri.
  • Contoh lainnya dari suatu fungsi kegunaan atas segelas air.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

konstanta 3

 

Misalnya, ada beberapa fungsi sebagai berikut:

konstanta 4

 

Jadi, turunan dari fungsi-fungsi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Baca Juga :   Determinan Matriks - Pengertian, Sifat-Sifat, dan Contoh Soal

eksponen 6

 

Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial merupakan persamaan dalam ilmu matematika untuk suatu fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunnya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting di dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lainnya.

Gambaran aliran udara ke dalam saluran dimodelkan sesuai persamaan Navier Stokes.

Persamaan diferensial ini muncul didalam berbagai macam bidang sains dan teknologi,

Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan.

Ini akan terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.

Hukum Newton memungkinkan kita untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagaia gaya  yang bertindak terhadap suatu benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyaknya kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Contoh persamaan diferensial pada suatu kehidupan adalah penentuan sebuah kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasinya dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah ialah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara.

Rumus Dan Aturan-Aturan Dalam Diferensial

1) Turunan pada fungsi konstan/konstanta

dengan k sama dengan konstanta, maka

rumus diferensial matematika

diferensial matematika

Contoh Soal Diferensial

Soal 1:

Diketahui  f’(x) ialah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 10, Tentukan nilai f’(x) adalah….

Pembahasan :

              f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 10

              f’(x) = 15x2+ 4x +5

              f’(3) = 15 . 3 +4 . 3 + 5

                      = 135 + 12 + 5

Baca Juga :   Mengenal Fungsi dan Rumus Trigonometri Matematika

                      = 152

Soal 2:

Sebuah turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 3) ialah f(x) = …

Pembahasan:

f(x) = sin3(3x2 – 3)

              f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 3).3.6x.cos (3x2 – 3)

                        = 18x sin2(3x2 – 3) cos (3x2 – 3)

 

Demikianlah pembahasan kita mengenai Diferensial. Semoga bermanfaat ya …

Artikel Lainnya: