Persamaan Garis Singgung – Pengertian, Rumus, Contoh Soal

Posted on

Rumusbilangan.com- Makalah Materi tentang Persamaan Garis Singgung – Pengertian Dan Rumus Cara Menentukannya, dan Contoh Soal Persamaan Garis Singgung.

Hallo sahabat,, hari ini kita akan membahas materi tenatang Persamaan Garis Singgung- Pengertian Dan Rumus Cara Menentukannya.

Pada bab ini yang akan kita bahas yakni tentang Pengertian, Sejarah, Rumus – Rumus dan Cara menentukannya. Untuk itu, yuk langsung saja kita mulai…

Persamaan Garis Singgungg
Persamaan Garis Singgungg

Sejarah Tentang Garis Singgung

Pada tahun 300 SM seorang ilmuan ahli matematika yang berasal dari Alexandria, Mesir yang bernama: Euklides membuat sejumlah referensi garis singgung lingkaran dalam sebuah buku yang berjudul Elements.

Dalam karya dari Apollonius Conics (225 SM) ilmuan asala yunani, ia mendefinisikan bahwa garis singgung sebagai yang tidak ada garis lurus lain berada diantara garis itu dan kurva.

Archimedes pada sekitar tahun 287 SM menemukan sebuah garis singgung Spiral Archimedes dengan mempertimbangkan jalur – jalur perpindahan titik – titik sepanjang kurva.

Sekitar pada tahun 1630, Fermat mengembangkan teknik adekualitas untuk menghitung garis singgung dan masalah laiinya dalam analisa serta menghitung garis singgung parabola. Teknik ini serupa dengan mengambil perbedaan yaitu antara  dan  serta membaginya dengan sebuah pangkat dua dari .

Secara terpisah, Descartes menggunakan metode tegak lurus yang berdasarkan pada observasi bahwa radius lingkaran selalu tegak lurus dengan lingkaran itu sendiri.

Metode ini mengantarkan kepada pengembangan kalkulus diferensial  pada sekitar abad ke – 17. Banyak orang berkontribusi di dalamnya, seperti: Roberval yang menemukan sebuah metode umum untuk menggambar garis singgung, mempertimbangkan sebuah kurva yang didefinisikan sebagai titik bergerak yang gerakannya merupakan resultan dari berbagai gerakan lebih sederhana.

Baca Juga :   Rumus, Contoh Soal, dan Pembahasan Perkalian Matriks

Rene Francois de Sluse dan Johanes Hudde  menemukan sebuah algoritma aljabar untuk mencari suatu garis singgung. Perkembangan lebih lanjut yaitu meliputi: John Wallis dan Isaac Newton, membawa pada teori Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Definisi pada garis singgung sektar tahun 1828 ialah “garis yang benar dengan menyentuh kurva, tetapi ketika diperpanjang, tidak memotong kurva tersebut”. Definisi tua ini mencegah titik belok yang memiliki garis singgung. Definisi ini telah ditolak dan definisi modern sama dengan definisi milik Leibniz yang mendefinisikan garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik tak hingga dekat kepada kurva.

Pengertian Garis Singgung

Dalam ilmu geometri, garis singgung atau biasa disebut juga garis tangen kurva bidang pada titik yang diketahui ialah garis lurus yang “hanya menyentuh” kurva pada titik tersebut.

Leibniz mendefinisikan bahwa suatu garis singgung sebagai garis yang melalui sepasang titik tak hingga dekat pada kurva. Lebih tepatnya, garis lurus ini disebut juga menyinggung kurva y = f (x) di titik x = c pada kurva apabila garis melalui titik (cf (c)) pada kurva dan memiliki kemiringan f ‘(c) dengan f ‘ ialah turunan  f.

Definisi yang serupa juga digunakan pada kurva ruang dan kurva dalam ruang Euklides dimensi –n.

Karena melalui titik di mana garis singgung dan kurva bertemu, maka disebut titik singgung, garis singgung “memiliki arah yang sama” dengan kurva, dan dengan demikian merupakan pendekatan garis lurus terbaik pada kurva pada titik tersebut.

Serupa dengan garis singgung, bidang singgung permukaan pada titik yang diketahui adalah bidang yang “hanya menyentuh” permukaan di titik tersebut. Konsep persinggungan ialah satu dari gagasan paling mendasar dalam geometri diferensial dan telah digeneralisasikan secara ekstensif.

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan luar yaitu melibatkan dua lingkaran dan sebuah garis singgung lingkaran. Untuk lebih jelasnya dapat kita lihat pada gambar di bawah berikut:

Baca Juga :   Bilangan Pecahan - Pengertian, Jenis-Jenis, dan Contohnya

Garis singgung lingkaran

Rumus Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Rumus – rumusnya yaitu:

  \[ AB = PP' = \sqrt{OP^{2}-(R-r)^{2}} \]

Keterangannya:
AB = PP’ adalah Garis singgung persekutuan luar lingkaran
OP adalah Jarak antara kedua pusat lingkaran
R adalah Jari-jari lingkaran besar
r adalah Jari-jari lingkaran kecil

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Seperti pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran ini juga melibatkan antara dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung. Bedanya yaitu terletak pada posisi garis singgung lingkaran.

Dua titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak pada sisi yang sama. Sedangkan dua titik singgung lingkaran pada garis singggung persekutuan dalam dua lingkaran terletak yang bersebrangan. Untuk lebih jelasnya, mari perhatikan gambar dibawah berikut:

Garis singgung lingkaran

Rumus Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Rumusnya yaitu:  

\[ AB = PP' = \sqrt{OP^{2} - (R + r)^{2}} \]

Keterangannya:
AB = PP’ adalah Garis singgung persekutuan luar lingkaran
OP adalah Jarak antara kedua pusat lingkaran
R adalah Jari-jari lingkaran besar
r adalah Jari-jari lingkaran kecil

Contoh Soal dan Cara Menentukannya

Soal 1:
Dua buah lingkaran mempunyai panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Apabila panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain ialah ….

Pembahasan:
Berdasarkan data pada soal, maka kita dapat peroleh gambar di bawah berikut:

garis singgung lingkaran persekutuan luar

  \[AB =\sqrt{OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}}\]

  \[AB^{2} =OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}\]

  \[24^{2} =26^{2}-\left( 18 - r\right)^{2}\]

  \[676 =576 - \left( 18 - r\right)^{2}\]

  \[\left( 18 - r\right)^{2} =676 - 576 \]

  \[\left( 18 - r\right)^{2} = 100 \]

  \[ 18 - r = 10 \]

  \[ - r = 10 -18 \]

  \[ - r = -8 \rightarrow r = 8 \; cm \]

Maka, panjang jari-jari lingkaran yang lain ialah 8 cm.

Soal 2:
Perhatikan gambar berikut ini:
garis singgung lingkaran dalam

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut ialah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 25 cm. Tentukan panjang garis singgung AB adalah ….

Baca Juga :   Cara Untuk Menentukan Limit Fungsi Trigonometri

Pembahasan:

  \[ AB = \sqrt{OP^{2} - PC^{2}} \]

  \[ AB = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}} \]

  \[ AB = \sqrt{25^{2} - \left( 10 + 5\right)^{2}} \]

  \[ AB = \sqrt{625 - 225} \]

  \[ AB = \sqrt{400} \]

  \[ AB = 20 \; cm \]

Maka, panjang garis singgung AB ialah 20 cm.

Demikianlah pembahasan kita mengenai Persamaan Garis Singgung. Semoga bermanfaat ….

Baca Juga:

Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Rumus Bola – Luas, Keliling, Volume dan Contoh Soalnya