Bentuk Persamaan Trigonometri dan Cara Menyelesaikannya

Posted on

Dasar trigonometri diantaranya yaitu berupa konsep kesebangunan dari bagunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian dengan dua bangun datar yang sebangun ini mempunyai perbandingan yang bisa dikatakan sama. Segitiga yang dikatakan sebangun itu, pada geometri Euclid, apabila masing-masing dari sudut dua segitiga tersebut mempunyai besar sudut yang sama, maka kedua segitiga itu bisa dipastikan segitiga sebangun. Hal tersebut merupakan sebuah dasar di dalam melakukan perbandingan trigonometri dari sudut lancip. Konsep tersebut selanjutnya dikembangkan lagi untuk sudut-sudut tumpul ( yang mana lebih dari 90 derajat dan atau kurang dari nol derajat).

Dan untuk salah satu pembahasan yang ada pada materi trigonometri yaitu menyelesaikan persamaan trigonometri. Pada umumnya, soal yang diberikan di dalam persamaan trigonometri yaitu untuk menentukan himpunan dari penyelesaian yang terdiri dari sudut-sudut yang memenuhi dari persamaan trigonometri. Sebagaimana yang telah anda ketahui, jika untuk bentuk grafik fungsi trigonometri ini sifatnya bisa dikatakan periodik. Bentuknya juga akan berulang sama di dalam rentang tertentu. Dengan demikian, untuk nilai fungsi trigonometri dari sebuah persamaan ini tidak hanya mempunyai nilai tunggal.

Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri merupakan persamaan yang mana didalamnya memuat perbandingan dari trigonometri. Persamaan trigonometri ini juga terbagi di dalam dua bentuk, antara lain yaitu berbentuk kalimat terbuka dan juga berbentuk identitas. Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri pada kalimat terbuka, dan itu artinya menentukan nilai variabel yang ada pada persamaan tersebut. Dengan demikian, untuk persamaan itu bisa menjadi benar.

Perlu anda ketahui, jika ada tiga jenis rumus perioda yang bisa anda gunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk ini, diantaranya seperti berikut ini :

Baca Juga :   1 Jam Berapa Detik dan Berapa Menit - Pengertian dan Contoh Soalnya

(1) Apabila sin x = sin α maka x = α + k.360o kemudian x = (180 – α) + k.360o
(2) Jika cos x = cos α maka x = α + k.360o dan x = – α + k.360o
(3) Jika tan x = tan α maka x = α + k.180o

Yang mana k merupakan bilangan bulat

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Sinus

Grafik fungsi sinus ini memiliki sifat periodik, membentuk bukit dan juga lembah. Oleh sebab itu, untuk nilai fungsi sinus untuk satu besar sudut ini akan sama dengan nilai dari fungsi sinus untuk yang besar sudut lain.

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Hal yang harus anda ketahui selanjutnya yaitu menyelesaikan masalah persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus. Grafik fungsi cosinus ini juga bersifat periodik, membentuk bukit dan lembah. Bedanya hanya terletak pada awal mulainya. Di dalam satu periode pada fungsi sinus dasar y = sin x dimulai dari 0 (nol) dan kembali ke 0 (nol). Kemudian, pada satu periode fungsi cosinus dasar y = Cos x ini dimulai dari 1 (satu) dan kembali ke 1 (satu). Untuk nilai tertinggi fungsi y = Cosx yaitu 1 dan nilai terendahnya yaitu -1. Nilai fungsi cosinus untuk satu besar sudut itu akan sama dengan nilai fungsi cosinus yang untuk besar sudut yang lainnya.

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Tangen

Grafik fungsi tangen ini lain halnya dengan grafik fungsi sinus dan cosinus, grafiknya tidak membentuk bukit dan juga lembah. Hal ini disebabkan oleh nilai tangen yang tidak terdefinisi dalam besar sudut 90o dan 270o. Dengan demikian, dalam rentang 0o sampai dengan 360o terdapat dua buah asimtot. Sama halnya dengan fungsi sinus dan cosinus, nilai tertinggi fungsi y = Tan x yaitu 1 dan nilai terendahnya yaitu -1.

Bentuk Persamaan Trigonometri dan Cara Menyelesaikannya Rating: 5 Diposkan Oleh: Pelajar

Persamaan Trigonometri- Bentuk-Bentuk Persamaan dan Contoh-Contoh Soalnya

Posted on

Persamaan Trigonometri- Bentuk-Bentuk Persamaan dan Contoh-Contoh Soalnya

Hallo sahabat Rumusbilangan.com- Dipertemuan kali ini, kita akan membahas materi tentang Persamaan Trigonometri- Bentuk-Bentuk Persamaan dan Contoh-Contoh Soalnya.

Dalam pembahasan ini terdapat beberapa bentuk-bentuk persamaan trigonometri yang mana pelajaran ini pasti keluar di materi di bangku sekolah. Untuk itu yuk mari disimak pelajaran ini semoga dapat membantu teman-teman memahami materi tentang Persamaan Trigonometri.

Pengertian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri ialah persamaan yang didalamnya memuat perbandingan – perbandingan trigonometri. Persamaan trigonometri tersebut terbagi dua bentuk, yakni berbentuk kalimat terbuka dan berbentuk identitas. Dalam hal menyelesaikan persamaan trigonometri  didalam bntuk kalimat terbuka ini, berarti sama dengan menentukan nilai variabel yang terdapat didalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar.

Rumus Persamaan Trigonometri

Ada tiga macam rumus periode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Semua itu dibagi kedalam 3 bentuk, yaitu:
1) sin x = sin α jadi x = α + k.360o dan x = (180 – α)+k.360o
2) cos x = cos α jadi x = α + k.360o dan x = – α+k.360o
3) tan x = tan α jadi x = α+k.180o
dimana k merupakan bilangan bulat.

Bentuk-Bentuk Persamaan Trigonometri dan Contoh Soalnya

  1. Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Sinus

Grafik fungsi sinus ini bersifat periodik yakni membentuk bukit dan lembah. Oleh karena itu, nilai fungsi sinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi sinus untuk besaran sudut yang lain.

Contohnya nilai fungsi Sin \; 45^{o} yang sama nilainya dengan nilai fungsi Sin \; 135^{o}, yaitu \frac{1}{2} \sqrt{2}.

Satu periode fungsi sinus dasar dimulai dari angka 0 (nol) dan kembali ke angka 0 (nol) lagi. Nilai tertinggi fungsi y = Sin \; x ialah 1 dan nilai terendahnya adalah -1 (min satu).

Baca Juga :   Pengertian Bilangan Himpunan Ekuivalen dan Contoh Soal

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi sinus ini diberikan seperti dalam persamaan di bawah berikut ini:

Keterangan: k= Bilangan Bulat
Keterangan: k= Bilangan Bulat

Contoh soal untuk menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi sinus:

Tentukanlah himpunan pennyelesaian yang memenuhi persamaan di bawah berikut:

  \[ 2 Sin \left( 2x - 60^{o} \right) - \sqrt{3} = 0, \; 0 \leq x \leq 360^{o} \]

Penyelesaian:

  \[ 2 \; Sin \left( 2x - 60^{o} \right) - \sqrt{3} = 0 \]

  \[ 2 \; Sin \left( 2x - 60^{o} \right) = \sqrt{3} \]

  \[ Sin \left( 2x - 60^{o} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

Berdasarkan hasil persamaan akhir yang diperoleh di atas, maka dapat ditentukan hasil himpunan penyelesaiannya, yaitu:

  \[ 2x - 60^{o} = 60^{o} + k \cdot 360^{o} \]

  \[ 2x = 60^{o} + 60^{o} + k \cdot 360^{o} \]

  \[ 2x = 120^{o} + k \cdot 360^{o} \]

  \[ x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} \]

Atau,

  \[ 2x - 60^{o} = \left(180^{o} - 60^{o} \right) + k \cdot 360^{o} \]

  \[ 2x - 60^{o} = 120 + k \cdot 360^{o} \]

  \[ 2x = 120^{o} + 60^{o} + k \cdot 360^{o} \]

  \[ 2x = 180^{o} + k \cdot 360^{o} \]

  \[ x = 90^{o} + k \cdot 180^{o} \]

Didapat dua persamaan akhir yaitu: x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} atau x = 90^{o} + k \cdot 180^{o}.

Selanjutnya, akan diteliti pada beberapa nilai k untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya:

Untuk k = 0,

  \[ x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 60^{o} \]

  \[ x = 90^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 90^{o} \]

Untuk k = 1,

  \[ x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 240^{o} \]

  \[ x = 90^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 270^{o} \]

Untuk nilai k = 2 dan lebih akan menghasilkan nilai x yang lebih dari 360^{o}, oleh karena itu perhitungannya dicukupkan sampai nilia k = 1.

Jadi, himpunan penyelesaian yang diperoleh yaitu:

  \[ \textrm{HP} = \left \{60^{o}, 90^{o}, 240^{o}, 270^{o} \right \} \]

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Selanjutnya ialah menyelesaikan masalah persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus.

Grafik fungsi cosinus ialah grafik yang juga bersifat periodik seperti sinus, grafik tersebut  membentuk bukit dan lembah.

Bedanya hanya terletak pada awal mulainya. Pada satu periode pada fungsi sinus dasar y = Sin \; x dimulai dari angka 0 (nol) dan kembali ke angka 0 (nol). Sedangkan pada satu periode fungsi cosinus dasar, y = Cos \; x dimulai dari angka 1 (satu) dan kembali ke angka 1 (satu). Nilai tertinggi fungsi y = Cos \; x yaitu 1 dan nilai terendahnya yaitu -1.

Nilai fungsi cosinus untuk satu besaran sudut akan sama dengan nilai fungsi cosinus untuk besaran sudut lain. Contoh nilai fungsi Cos \; 60^{o} yang sama nilainya dengan nilai fungsi Cos \; 300^{o}, yaitu \frac{1}{2}.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus ini diberikan seperti persamaan di bawah berikut ini:

Baca Juga :   Pengertian Bilangan Kuadarat dan Contoh Bilangan Kuadrat 1-300

Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Contoh soal untuk menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah sebagai berikut:

  \[ 2 \; Cos \; x - \sqrt{3} = 0, \; 0 \leq x \leq 360^{o} \]

Pembahasannya:

  \[ 2 \; Cos \; x = \sqrt{3} \]

  \[ Cos \; x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

  \[ Cos \; x = Cos \; 30^{o} \]

Berdasarkan rumus umum persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus, maka diperoleh dua persamaan berikut, yaitu:

  \[ x_{1} = 30^{o} + k \cdot 360^{o} \]

  \[ x_{2} = 150^{o} + k \cdot 360^{o} \]

Selanjutnya, akan diselidiki untuk beberapa nilai k nya:

Untuk nilai k = 0:

  \[ x_{1} = 30^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow 30^{o} \]

  \[ x_{2} = 150^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow 150^{o} \]

Untuk nilai k = 1 atau lebih akan menghasilkan nilai x yang melebihi rentang yang telah diberikan. Sehingga, perhitungannya sampai di sini saja. Dan perolehan himpunan penyelesaian yang di cari, yaitu:

  \[ HP = \left \{ 30^{o}, \; 150^{o} \right \} \]

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Tangen

Grafik fungsi tangen ini berbeda sendiri dengan grafik fungsi sinus dan cosinus, yakni grafiknya tidak membentuk bukit dan lembah.

Hal ini dikarenakan nilai tangen yang tidak terdefinisi pada besaran sudut 90^{o} dan 270^{o}. Oleh sebab itu, dalam rentang 0^{o} sampai 360^{o} terdapat dua buah asimtot.

Sama seperti fungsi sinus dan cosinus, nilai tertinggi fungsi y = Tan \; x ialah 1 dan nilai terendahnya adalah -1.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi tangen ini diberikan seperti persamaan di bawah berikut:

persamaan trigonometri fungsi tangen

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi tangen.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah berikut ini:

  \[ Tan \left( 60 - \frac{1}{2}x \right) = Cot \left( x + 120^{o} \right), \; 0 \leq x \leq 360^{o} \]

Pembahasannya:

  \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Cot \left( x + 120^{o} \right) \]

  \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Tan \left( 90^{o} - \left( x + 120^{o} \right) \right) \]

  \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Tan \left( 90^{o} + - x - 120^{o} \right) \]

  \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Tan \left( - x - 30^{o} \right) \]

  \[ 60^{o} - \frac{1}{2}x = - x - 30^{o} + k \cdot 180^{o} \]

  \[ x - \frac{1}{2}x = - 30^{o} - 60^{o} + k \cdot 180^{o} \]

  \[ \frac{1}{2}x = - 90^{o} + k \cdot 180^{o} \]

  \[ x = 2 \left( - 90^{o} + k \cdot 180^{o} \right) \]

  \[ x = - 180^{o} + k \cdot 360^{o} \]

Selanjutnya akan ditentukan nilai x nya yang memenuhi untuk beberapa nilai k.

Untuk nilai k = 0:

  \[ x = - 180^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow x = -180^{o} \]

Nilai x dari hasil perhitungan di atas ialah tidak memenuhi karena di luar rentang yang diberikan. Selanjutnya, akan diselidiki untuk nilai k nya = 1.

  \[ x = - 180^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow x = 180^{o} \]

Untuk nilai k = 2 atau lebih, akan menghasilkan berupa nilai x yang berada di luar rentang. Sehingga hanya terdapat satu himpunan penyelesaian untuk x ini, yaitu:

Baca Juga :   Rumus Menghitung Volume Balok Dan Contoh Soalnya Lengkap

  \[ HP = \left \{180^{o} \right \} \]

 

 

Baiklah sahabat pembahasan kita pada hari ini mengenai Persamaan Trigonometri lengkap, mulai dari pengertian sampai ke cara penentuannya. Semoga bermanfaat ya …

Persamaan Trigonometri- Bentuk-Bentuk Persamaan dan Contoh-Contoh Soalnya Rating: 5 Diposkan Oleh: Pelajar