Rumus Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Serta Contoh Soalnya Lengkap

Posted on

Rumus Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Serta Contoh Soalnya Lengkap – Pada dasarnya, sudut pusat dan sudut keliling adalah sudut yang terbentuk dari dua buah tali busur atau dua buah jari – jari pada lingkaran. Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas materi tentang sudut pusat dan sudut keliling, apa pengertiannya? bagaimana sifat-sifatnya? serta beberapa contoh soalnya lengkap.

Baiklah langsung saja kita simak!

Sudut Pusat Dan Sudut keliling
Sudut Pusat Dan Sudut keliling

Pengertian Sudut Pusat Dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah suatu sudut dengan derajat tertentu yang dibentuk oleh dua buah jari – jari yang menghadap pada sebuah busur lingkaran.

Sedangkan sudut keliling adalah suatu sudut pada lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur.

Perbedaan utama dari sudut pusat dan sudut keliling tersebut adalah terletak pada elemen pembentuknya, jika sudut pusat dibentuk oleh dua buah jari-jari sedangkan sudut keliling dibentuk oleh dua buah tali busur.

Untuk lebih jelasnya mari silakan dilihat gambarnya dibawah berikut:

Sudut AOB = Sudut Pusat
Sudut AOB =  Sudut Pusat

lalu sudut keliling:

Sudut FDE = Sudut Keliling
Sudut FDE = Sudut Keliling

Sudut pusat merupakan sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik yang terletak pada busur lingkaran. Perhatikan gambar berikut:

sudut pusat

Keterangan:
∠AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur AB.
∠COD adalah sudut pusat yang menghadap busur CD.

Sifat – Sifat Sudut Pusat Dan Sudut Keliling

Pada umumnya, sifat-sifat sudut pusat dan sudut keliling lingkaran adalah sama, yaitu:

  • Sudut pusat atau keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut 90 derajat atau biasa disebut dengan sudut siku-siku
Baca Juga :   Rumus Segitiga - Luas, Keliling, dan Contoh Soalnya

Perhatikan gambar:

Sudut PRQ diatas besarnya adalah 90 derajat.

  • Sudut keliling atau pusat yang menghadap busur yang sama akan memiliki besar sudut yang sama pula.

Perhatikan gambar:

Menurut sifat di atas, maka besarnya adalah ∠ QPR = ∠ QTR = ∠ QSR

  • Sudut – sudut keliling atau pusat yang saling berhadapan akan memiliki jumlah total sudut 180 derajat.

Perhatikan gambar:

Menurut sudut pada gambar diatas, maka ∠ PSR + ∠PQR = 180 derajat

Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling

Perhatikan gambar dibawah berikut ini dengan seksama!

Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling
Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling

Setelah itu, pahamilah uraian penjelasan dari gambar diatas berikut ini:

  • Perhatikan pada gambar diatas, dibawah sudut AOB adalah sudut pusat dan sudut ACB merupakan sudut keliling yang menghadap ke busur yang sama yaitu busur AB. Inilah yang akan kita pelajari, yakni hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Lingkaran di samping mempunyai jari-jari OA, OB, OC, OD = r

Contoh : sudut AOD = x dan sudut DOB = y,

Maka, besar sudut AOB = sudut AOD + sudut DOB = x + y

  • Selanjutnya mari perhatikan segitiga BOC:

Sudut BOC pelurus bagi sudut DOB, maka sudut BOC + sudut DOB = 180°,

sehingga sudut BOC = 180° – sudut DOB = 180° – y.

Segitiga BOC adalah segitiga kaki, sebab OC dan OB adalah jari-jari lingkaran, sehingga besar sudut OBC dan OCB sama (misal z).

Sudut OBC + sudut OCB + sudut BOC = 180°
z + z + (180° – y) = 180°
2z – y + 180° = 180°
2z = 180° – 180° + y
2z = y
z = ½ y

  • Sekarang perhatikan segitiga AOC:

Sudut AOC pelurus bagi sudut AOD maka sudut AOC + sudut AOD = 180°,

sehingga sudut AOC = 180° – sudut AOD = 180° – x.

Baca Juga :   Rumus Tabung - Luas, Volume, Keliling, Contoh Soal

Segitiga AOC merupakan segitiga kaki, karena OA dan OC adalah jari-jari lingkaran, sehingga besar sudut OAC dan OCA sama (misal p).

Sudut OAC + sudut OCA + sudut AOC = 180°
p + p + (180° – x) = 180°
2p – x + 180° = 180°
2p = 180° – 180° + x
2p = x
p = ½ x

Dengan demikian, sudut ACB = sudut OCB + sudut OCA = z + p = ½ y + ½ x = ½ (x + y) = ½ sudut AOB.

Maka besar sudut AOB adalah 2 x sudut ACB.

Karena sudut ACB merupakan sudut keliling lingkaran dan sudut AOB merupakan sudut pusat lingkaran, maka dapat ditarik kesimpulan, bahwa :

“Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama, Maka besar sudut pusat = 2 kali besar sudut keliling sedangkan sudut keliling setengahnya dari besar sudut pusat”

Contoh Soal Dan Pembahasan

Soal:
Perhatikanlah gambar lingkaran dibawah berikut ini, kemudian tentukan besarnya nilai pada sudut a tersebut:

Pembahasan:

Sudut a adalah sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama dengan sudut pusat sebesar 80º, maka besarnya sudut a dapat kita tentukan yaitu: ∠a = 1/2. 80º = 40º

Maka hasilnya adalah 40º.

Demikianlah pembahasan materi mengenai rumus sudut pusat dan sudut keliling. Semoga bermanfaat …

Baca Juga: