Turunan Fungsi – Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya

Posted on

Rumusbilangan.com- Pada bab kali ini akan kita bahas mengenai Pengertian Turunan Fungsi, Rumus dan Contoh Soal turunan fungsi beserta pembahasannya secara lengkap.

Siir Isaac Newton
Siir Isaac Newton

Pada dasarnya konsep turunan sering sekali digunakan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam ilmu matematika atau ilmu yang  lainnya. Kegunaan tersebut yang sering kita ketahui ialah menghitung garis singgung suatu kurva atau fungsi dan kecepatan. Selain itu juga, konsep turunan ini juga sering digunakan untuk laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika) dan laju pemissahan (kimia). Kegunaan itu semua pada dasarnya memiliki konsep yang sama yaitu konsep turunan. Untuk lebih jelasnya, yuk kita simak penjelasan dibawah berikut ini:

Pengertian Turunan dan Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

  • {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}
  • {\displaystyle y'} Ialah simbol untuk turunan pertama.
  • {\displaystyle y''} Ialah simbol untuk turunan kedua.
  • {\displaystyle y'''} Ialah simbol untuk turunan ketiga.
Baca Juga :   Bangun Ruang Pada Sisi Lengkung - Pengertian Dan Macam - Macamnya

Simbol yang lainnya selain {\displaystyle y'\,} dan {\displaystyle y''\,} ialah {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,} dan{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.
Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).
Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.
Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan.
Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.
Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme
Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,
Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahan
Dan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

  1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai berikut:

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}

= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}

= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}

= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})

= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}

Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:

f'(x ) = nx^{n-1}

2.  Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x) \cdot v(x)

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}

\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}

=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}

= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)

= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)

u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'

Maka, rumus turunan fungsinya ialah:

f'(x)=u'v+uv'

3. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:

Baca Juga :   Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar - Pengertian, Sifat, Contoh Soal

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}

Sehingga,

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}

=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}

=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}

= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)

=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}

Maka, rumus turunan fungsinya adalah

f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x)=(u(x))^n

Perlu diingat, apabila f(x) = x^n, maka:

f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1

Karna f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:

f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}

Atau,

f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'

Maka, rumus turunan fungsinya ialah:

f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'

4. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:

  1. y = \sin x \rightarrow y' = \cos x
  2. y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x
  3. y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x
  4. y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x
  5. y = \sec x \rightarrow y'
  6. y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x
  7. y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x
  8. y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x
  9. y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u
  10. y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u
  11. y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u
  12. y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u
  13. y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u
  14. y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u
  15. y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u
  16. y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u

Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh soal 1:

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5).
Pembahasan:
Misalkan apabila u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:
u‘ (x) = 2 dan v‘ (x) maka = 4x3
Dengan demikian, diperoleh penjabaran dan hasilnya:
f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Contoh ke 2: Soal Turunan Fungsi Al Jabar

Turunan fungsi pertama dari f(x) = 4 \sqrt{2x^3 - 1} ialah:

Pembahasan:

Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = au^n yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus y' = n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'. Maka:

f(x) = 4 \sqrt{2x^3-1} = 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}

Sehingga turunannya yaitu:

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2

=2(2x^3-1) \cdot 6x^2

= 12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}

= \frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}

=\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}

Contoh Soal 4: Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari:

f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat menggunakan rumus campuran yaitu:  f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}dan juga  y' = n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u .

Maka:

f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}

f(x) = \frac{6}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}

f'(x) = \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}

f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos(3x-\frac{\pi}{5})}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{1}{3}}}

f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5}})}

f'(x) = \frac{-6cot(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}

Demikianlah pembahasan kita mengenai Turunan Fungsi lengkap dari pengertian hingga ke contoh soalnya. Demoga dapat memberikan manfaat ya …

Materi Terkait :