Determinan Matriks – Pengertian, Sifat-Sifat, dan Contoh Soal

Posted on

Rumusbilangan.com- Materi Cara Menentukan Determinan Matriks Dibahas Lengkap mulai dari pengertian, sifat-sifatnya, dan juga contoh soal determinan matriks beserta pembahasannya.

Hay sahabat,, hari ini kita akan melanjutkan kembali belajar matematika. Kali ini materi yang akan dibahas adalah Bagaimana Cara Menentukan Determinan Matriks, yang meliputi pengertian, sifat-sifat dan beberapa contoh soalnya. Untuk itu yuk kita simak!

Determinan Matriks
Determinan Matriks

Pengertian Determinan Matriks

Di dalam bidang materi al jabar linear, determinan ialah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi.

Determinan matriks A ditulis dengan sebuah tanda, yaitu: det(A)det A, atau |A|. Determinan bisa dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, maka rumus untuk mencari determinan ialah:

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, maka rumusnya adalah:

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n ialah:

Metode eliminasi Gauss juga bisa dipakai.

Sebagai contoh, yaitu pada determinan matriks berikut:

bisa dihitung dengan menggunakan sebuah matriks berikut:

Keterangan:

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris yang kedua, sehingga det(A) = det(B).

Kemudian C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, yang D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga merupakan hasil dari perkalian diagonal utamannya : (−2) · 2 · 4.5 = −18.

Oleh karena itu, det(A) = −det(D) = +18.

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Ada beberapa sifat – sifat determinan matriks, yaitu diantarannya:
1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Perhatikan contoh berikut:
Misalkan  : 
2. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Perhatikan contoh berikut:
Misalkan: B =  (Sebab elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 adalah sama).
3. Apabila elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom adalah merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Perhatikan contoh di bawahberikut:
Misalkan: A =  (Sebab elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).
4. |AB| : |A| ×|B|
5. |AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A.
6. |A–1| =  , untuk A–1 ialah invers dari matriks A.
7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalahsuatu konstanta.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Soal Determinan Ordo 2 x 2

Contoh 1:

Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari sebuah matrik berikut :

Pembahasan:

M=

52
43

Jawab :

det(M) =

52
43

Maka = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

Contoh 2:

Baca Juga :   Cara Menghitung Persen

Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

Pembahasan:

N=

-6-1
3-2

Jawab:

det(N) =

-6-1
3-2

  Maka = ((–6) × (-2)) – (3 × (–1)) = 15

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Misalnya kita ketahui sebuah matriks A, yang merupakan matriks persegi dengan ordo dua. Maka:

A=

ab
cd

Dengan demikian, dapat diperoleh sebuah rumus det A sebagai berikut:

det(A) =

ab
cd

  Maka = ad – bc

Contoh 1:
Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

M=

56
43

Pembahasan:

det(M) =

56
43

  = (5 × 3) – (6 × 4) = 16

Contoh.2
Hitungalah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

N=

-6-2
3-2

Pembahasan:

det(N) =

-6-2
3-2

  = ((–6) × (-2)) – (3 × (–2)) = 18

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Terdapat ada dua cara di dalam menghitung determinan untuk matriks berordo 3×3 ini, yaitu :

  1. Metode Sarrus, dan
  2. Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks untuk yang berordo 3×3 yaitu metode Sarrus.

Metode Sarrus

Misalnya, kita mempunyai matriks A berordo 3×3 seperti berikut :

A =

a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Maka cara perhitungan determinannya dapat ditunjukkan oleh gambar dibawah berikut:
Determinan Matriks

Sekarang kita pelajari contoh berikut:

Contoh 1:
Tentukanlah Nilai Determinan dari matriks ordo 3×3 berikut :

A =

234
543
71

Pembahasan:

Nilai determinan untuk matriks di atas ialah sebagai berikut:

det(A) =

234
543
71
23
54
7

det(A) = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5.4.4.72.3.3.5.1
= 8 + 63 + 11215
=56

Contoh 2:
Tentukanlah Nilai Determinan dari matriks ordo 3×3 berikut :

B =

123
214
312

Pembahasan: 

Nilai determinan untuk matriks di atas ialah sebagai berikut:

123
214
312
12
21
31

det(A) = (1.1.2) + (2.4.3) + (3.2.1)(3.1.3)(1.4.1)(2.2.2)
= 2 + 24 + 6948
= 11

 

Demikianlah pembahasan kita mengenai Determinan Matriks. Semoga bermanfaat …

Artikel Lainnya: