Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Posted on

Pertidaksamaan Nilai Mutlak- Pecahan, Kalkulus, Soal, Pembahasan Dan Jawabannya- Hallo sahabat pembaca yang budiman, pada kesempatan yang berbahagia kali ini kita akan membahas makalah tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak serta materi pembahasan lainnya.

Baiklah mari langsung saja kita simak uraian materinya dibawah berikut ini !

Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan yaitu suatu kalimat di dalam matematika terbuka yang mana memuat sebuah ungkapan yakni : >, ≥, <, ataupun ≤. Adapun dengan istilah ketidaksamaan ataupun pertidaksamaan mutlak (absolut) yaitu suatu pertidaksamaan yang selalu jadibenar bagi setiap nilai pengganti dalam suatu variabelnya. Suatu pertidaksamaan itu yang selalu salah bagi setiap pengganti variabelnya ialah disebut sebagai pertidaksamaan yang palsu.

Sifat – Sifat dalam Pertidaksamaan

Tanda dalam nilai pertidaksamaan tidak akan berubah apabila kedua ruas tersebut ditambah ataupun dikurangi dengan bilangan yang sama juga.

Maka, apabila a < b, menjadi :

a + c < b + c
a – c < b – c

Tanda dalam nilai pertidaksamaan tidak akan berubah apabila kedua ruas tersebut dikalikan ataupun dibagikan dengan bilangan yang positif yang sama. ataupun dikurangi dengan bilangan yang sama juga.

Apabila, a < b, dan c ialah suatu bilangan positif, maka menjadi :

  1. a . c < b . c
  2. a / b b / c

Tanda dalam sistem pertidaksamaan akan bisa berubah apabila kedua ruas pertidaksamaan itu dikalikan ataupun dibagikan dengan sebuah bilangan negatif yang sama pula

Apabila, a < b, dan c ialah suatu bilangan negatif, jadi :

  1. a . c > b . c
  2. a / c > b / c

Suatu tanda pada pertidaksamaan tidak akan berubah apabila kedua ruas adalah positif dan masing – masing dikuadratkan

Apabila a < b, a dan b sama – sama tanda positif, jadi : a2 < b2

Pertidaksamaan di Kuadrat

→ Pada variabelnya yaitu berpangkat 2.

Maka penyelesaiannya :

  1. Pada ruas kanan dibuat menjadi angka nol
  2. Kemudian faktorkan

Tentukanlah harga nol, yakni nilai pada variabel yang menyebabkan suatu nilai faktor yang sama dengan nol

Berikut adalahbentuk gambar garis bilangannya :

  1. Apabila tanda pertidaksamaannya adalah ≥ atau ≤, jadi harga nol ditandai dengan sebuah titik hitam (•)
  2. Apabila tanda pertidaksamaannya adalah > atau <, jadi harga nol ditandai dengan sebuah titik putih (°)
  3. Lalu tentukan tanda tambah (+) atau kurang (–) terhadap masing – masing interval pada suatu garis bilangan. Caranya yaitu dengan memasukkan salah satu dari bilangan pada interval tersebut kepada persamaan di ruas kiri tersebut.
  4. Beri tanda pada garis bilangan yang berselang – seling, kecuali apabila ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk suatu pertidaksamaan pada tingkat tinggi), batas rangkap itu tidak akan merubah tanda
Baca Juga :   Contoh Teks Prosedur Kompleks, Protokol, Dan Singkat

Selanjutnya silakan tentukan himpunan penyelesaiannya, yaitu :

→ Apabila tanda pertidaksamaan > 0 maka berarti daerah pada suatu garis bilangan yang diarsir ialah yang bertanda kurang (+)
→ Apabila tanda  pertidaksamaan < 0 maka berarti daerah pada suatu garis bilangan yang diarsir ialah yang bertanda kurang (–)

Contohnya :

=( 2x – 1) 2 ≥ ( 5x – 3) . (x – 1) – 7
=4 × 2 – 4x + 1 ≥ 5 × 2 – 5x – 3x + 3 – 7
=4 × 2 – 4x + 1 – 5 × 2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

= –x2 + 4x + 5 ≥ 0
= –(x2 – 4x – 5 ) ≥ 0
= –(x – 5) . (x + 1) ≥ 0

Untuk itu, harga nol adalah x – 5 = 0 atau juga x + 1 = 0
x = 5 ataupun x = –1

Pada garis bilangan yakni :

Akan menggunakan sebuah titik hitam sebab tanda pertidaksamaan ≥
Apabila dimasukkan maka x = 0 hasilnya adalah positif

Sebab 0 berada di antara –1 dengan 5, jadi daerah tersebut bernilai menjadi positif, di kiri dan di kanannya bernilai negatif
Sebab, tanda pertidaksamaan yaitu : ≥ 0, maka yang diarsir ialah yang positif.

Apabila penyelesaiannya adalah : { x | –1 ≤ x ≤ 5 }

Pertidakamaan Tingkat Tinggi

→ Pada variabel berpangkat lebih dari angka 2

Penyelesaiannya sama dengan pertidaksamaan pada kuadrat :

Garis bilangannya adalah :

  1. Menggunakan tanda titik putih sebagai tanda pertidaksamaan (<)
  2. Apabila dimasukkan pada x = 0 maka hasilnya adalah positif
  3. Sebab angka 0 berada di antara : –1/2 dan 2, jadi daerah tersebut akan bernilai positif
  4. Sebab –1/2 ialah batas rangkap dari (–1/2 yang muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, maka –1/2 merupakan batas rangkap), jadi di sebelah kiri adalah –1/2 yang juga bernilai positif
  5. Selain pada daerah yang dibatasi oleh batas rangkap diatas, tanda positif serta pada tanda negatif berselang – seling
  6. Sebab, tanda pertidaksamaan adaah ³ 0, jadi yang diarsir ialah yang bernilai positif
Baca Juga :   Pisces Biologi

Sehingga di dapati penyelesaiannya adalah : {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Suatu Pecahan

Yaitu terdapat antara pembilang dan penyebut

Langkah penyelesaiannya adalah :

  1. Pada ruas kanan dijadikan angka nol
  2. Kemudian samakan penyebut di ruas kiri
  3. Faktorkan pembilang dengan penyebut (jika bisa)
  4. Cari memberi nilai – nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya ialah sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
  5. Gambar pada garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan ialah pada langkah 4
  6. Apapun tanda pertidaksamaannya itu adalah, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan menggunakan tanda titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan angka 0 agar pecahan tersebut memiliki nilai)

Tentukan tanda tambah (+) atau kurang (–) pada masing – masing interval

Contoh :

Pada harga nol pembilang adalah : –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4

Sedangkan harga nol penyebut adalah : x – 3 = 0 → x = 3

Maka, garis bilangannya adalah :

→ x = 3 digambarkan dengan menggunakan tanda titik putih sebab merupakan harga nol untuk penyebutnya.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ Pada variabelnya berada di dalam dengan menggunakan tanda mutlak yaitu| ….. |
(tanda mutlak tersebut selalu menghasilkan hasil yang bernilai positif, contohnya adalah : | 3 | = 3 ; | –3 | = 3)

Pengertian nilai mutlak adalah:

Penyelesaiannya adalah :

Apabila |x| < a yang berarti: –a < x < a, yang mana a ≥ 0
Apabila |x| > a yang berarti: x < –a ataupun x > a, yang mana a ≥ 0

Contohnya adalah :

Bilangan : |2x – 3| ≤ 5

Maka berarti :

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua itu dibagi dengan 2 yaitu :
Hasilnya : –1 ≤ x ≤ 4

Pertidaksamaan dengan Sebuah Harga Mutlak

Pertidaksamaan

Pertidaksamaanyaitu suatu kalimat matematika terbuka yang memuat suatu ungkapan dari >, ≥, <, atau ≤. Dan sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) yaitu suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya tersebut. Apabila ada suatu pertidaksamaan yang selalu salah bagi setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Contohnya adalah :
x ≠ y
x < y
2x ≥ 5
x2 – 5 + 6 ≤. 6
(e) │1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).

Baca Juga :   Sejarah Keunikan Sastra Arab

Sifat – sifat yang ada pada Pertidaksamaan

Teorema 4

Apabila P(x), Q(x), dan R(x) ialah sebuah ungkapan-ungkapan di dalam x, jadi untuk semua harga – harga pada x, P(x), Q(x), dan R(x) yang nyata, kalimat terbuka : P(x) < Q(x) ialah ekivalen dengan pada tiap – tiap dari pada berikut :

  1. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)
  2. P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

Buat x € { x/R(x) > 0 }

  • P(x) . R(x) > Q(x) . R(x)

Buat x € { x/R(x) > 0 }

Demikian pula buat kalimat terbuka ini P(x) ≤ Q(x) ialah ekuivalen dengan sebuah kalimat – kalimat terbuka daripada bentuk A sampai pada bentuk E dengan mengganti pada tanda < (atau >) dengan ≤ (atau ≥) dengan sebuah syarat yang sama pula, yakni: R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti pada penjelasan di atas.

Pertidaksamaan Harga Mutlak

Teorema 5 :

Apabila pada x € R, a € R, dan a > 0, jadi x < a, apabila hanya pada -a < x < a.

Untuk membuktikannya pada teorema ini, kita harus membuktikannya dengan dua bagian, yakni :

(1). Apabula│x│< a, jadi -a < x < a.

(2). Apabila -a < x < a, jadi   │x│ < a

Buktikan :

Untuk pada tiap x € R,│x│  ≥ 0.

Sebab, a > 0, jadi -a < 0

Maka untuk tiap x, -a <│x│  .

Sekarang kita pandang dahulu untuk pada x 0.

Dalam hal ini, yaitu : │x│ = x.

Karena -a < │ x │,│x│  = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti).

Sekarang mari kita pandang pada x < 0

Dalam hal ini yaitu │ x│= -x.

Sebab pada tanda -a <  │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, jadi -a < -x < a.

Kalikanlah dengan angka (-1), dan akan diperoleh a> x > -a ataupun -a < x < a (terbukti).

Demikianlah pembahasan makalah tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Semoga bermanfaat ya ….

Baca juga :