Aturan Cosinus Pada Trigonometri Segitiga Lengkap dan Contoh Soal

Posted on

RumusBilangan.Com- Hallo sahabat, pada bab ini kita akan belajar materi tentang aturan cosinus trigonometri segitiga secara tuntas dan lengkap beserta contoh soalnya.

Masih ingatkah kalian mengenai teorema Pythagoras? Teorema Pythagoras adalah salah satu rumus yang sangat penting dalam ilmu geometri. Kita biasa menghitung jarak antara dua titik pada bidang koordinat dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kita juga dapat menurunkan persamaan lingkaran dengan menggunan teorema pythagoras tersebut.

Lalu apa hubungannya dengan aturan cosinus ini?

Aturan Cosinus
Aturan Cosinus

Kita ambil contoh, apabila sisi siku-siku dari segitiga siku-siku dibuat lebih dekat (sudut yang diapitnya semakin kecil) maka sudut siku-sikunya tersebut akan menjadi sudut lancip, dan diperoleh rumus c2 < a2b2. Kemudian untuk membuat pertidaksamaan ini menjadi suatu persamaan, maka kita perlu mengurangi a2 + b2 dengan nilai tertentu.

yaitu: c2 = a2 + b2 – nilai tertentu

Sebaliknya, apabila sisi siku-sikunya dibuat lebih jauh (sudut yang diapitnya semakin besar) maka sudut siku-sikunya tersebut akan menjadi sudut tumpul, dan diperoleh c2 > a2 + b2.

Berikut ini adalah persamaan yang terjadi apabila kita menambahkan nilai tertentu pada a2 + b2.

yaitu: c2 = a2 + b2 + nilai tertentu

Nilai tertentu tersebut itu tak lain ialah 2ab ∙ cos C. Yaitu rumus hasil modifikasi dari teorema Pythagoras ini yang disebut aturan cosinus.

Pengertian Aturan Cosinus

Aturan cosinus ialah sebuah aturan dalam pembahasan trigonometri yang menghubungkan anatara fungsi cosinus dengan sisi – sisi pada segitiga.

Rumus aturan cosinus ini terdiri dari tiga buah persamaan. Sesuai dengan jumlah sudut dan jumlah sisi pada segitiganya tersebut.

Aturan kosinus menyatakan bahwa:

dengan  ialah suatu sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut .

Aturan yang sama berlaku juga untuk sisi a dan b:

Maka apabila dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang dari sisi yang satunya. Sebaliknya, apabila panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut.

Baca Juga :   Cara Mehitung Persen - Rumus dan Contoh Soal Persentase

Dengan sedikit mengubah aturan cosinus tadi maka kita akan memperoleh:

Sekarang mari kita perhatikan gambar dibawah berikut:

fungsi cosinus dan aturan cosinus

Pada gambar \Delta DBC:

  \[ Sin \; B = \frac{h}{a} \rightarrow h = a \cdot Sin \; B \]

  \[ Cos \; B = \frac{DB}{a} \rightarrow DB = a \cdot Cos \; B \]

  \[ AD = AB - DB = c - a \cdot Cos \; B \]

Pada \Delta ADC diatas, dapat diperoleh persamaan di bawah dari teorema pythagoras, yaitu:

  \[ AC^{2} = AD^{2} + CD^{2} \]

  \[ b^{2} = \left( c - a \cdot Cos \; B \right)^{2} + \left( a \cdot Sin \; B\right)^{2} \]

  \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \cdot Cos^{2}B + a^{2} \cdot Sin^{2} B \]

  \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \left( Cos^{2}B + Sin^{2} B\right) \]

  \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \cdot 1 \]

  \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \]

  \[ b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2ac \cdot Cos \; B \]

Persamaan akhir yang di atas adalah salah satu aturan dari cosinus. Dengan mengikuti langkah serupa seperti yang telah dikerjakan di atas, maka kita akan memperoleh tiga buah persamaan aturan cosuinus. Tiga buah persamaan tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

Berdasarkan dari tiga persamaan aturan cosinus di atas, maka dapat diperoleh rumus fungsi cosinus yang dapat digunakan untuk menentukan suatu besaran sudut segitiga yang apabila diketahui panjang ketiga sisi segitiga. Persamaan fungsi cosinus tersebut dapat dilihat pada persamaan di bawah berikut ini:

Setelah kita mempelajari penjelasan mengenai aturan cosinus diatas, kira – kira sahabat sudah paham apa belum ya?

Untuk lebih memahami, mari sahabat kita ulas dengan membahas contoh soal dan pembahasannya dibawah berikut:

Contoh Soal dan Pembahasan

Pada suatu segitiga dengan suatu sisi – sisi a, b, dan c memenuhi a^{2} - b^{2} = c^{2} - bc. Tentukanlah besar sudut A berikut ….

Pembahasan:

Diketahui:

  \[ a^{2} - b^{2} = c^{2} - bc\]

Sehingga,

  \[ a^{2} = b^{2} + c^{2} - bc \]

Salah satu rumus cosinus yaitu:

  \[ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos \; A \]

Berdasarkan dua persamaan di atas, maka akan kita peroleh nilai cos A, yaitu:

contoh soal aturan cosinus dan pembahasan

Demikianlah pembahasan kita mengenai aturan cosinus dan contoh soal pembahasannya. Semoga dapat memberikan manfaat …

Baca juga:

Aturan Cosinus Pada Trigonometri Segitiga Lengkap dan Contoh Soal Rating: 5 Diposkan Oleh: Pelajar