Rumus Barisan Dan Deret Aritmatika dan Contoh Soal Aritmatika

Rumusbilangan.com- Makalah materi tentang penjelasan tentang rumus barisan dan deret aritmatika serta cara menentukannya dan contoh soal aritmatika dengan pembahasannya.

Hallo sahabat, pada bab ini kita akan membahas materi tentang Penjelasan Tentang Rumus Barisan Dan Deret Aritmatika Serta Cara Menentukannya

Sahabat, pernahkan kalian menghitung jumlah uang saku kalian ketika sekolah, kira – kira setiap tahunnya jumlah uang saku kalian berbeda – beda. Apabila misal uang saku kalian waktu kelas satu SD adalah 2000, kemudian waktu kelas 2 SD adalah 4000, begitu seterusnya sampai kalian lulus.

Maka jumlah uang saku yang berbeda – beda tersebut bisa di bilang telah menggambarkan dari materi yang akan kita bahas pada bab ini, yaitu barisan aritmatika.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita simak artikel ini dengan seksama.

Contents show

Pengertian Baris Aritmatika

Pengertian Barisan

Barisan adalah sebuah urutan dari suatu anggota-anggota himpunan yang berdasarkan suatu aturan tertentu. Pada setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya.

Untuk menyatakan sebuah urutan / suku ke-n dari suatu barisan dapat dinotasikan dengan lambang $U_n$ .

Barisan juga bisa didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah merupakan himpunan bilangan asli. Sehingga, $U_n = f(n)$

Contoh:

Misalkan: $U_n = (2n + 1)$ , maka suku ke-4 dari baris tersebut ialah $U_4 = (2(4) + 1) = 9$ .

Pengertian Baris Aritmatika

Baris aritmatika adalah sebuah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan tersebut selalu sama yaitu b.

Maka:

$U_n - U_{(n - 1)} = b$

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, adalah baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika, dapat kita ketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b).

Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k + (n - k)b$

Apabila yang diketahui ialah nilai suku pertama $U_k = a$ dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ ialah:

$U_n = a + (n - 1)b$

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika ialah penjumlahan antar suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika tersebut dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}$

atau sebagai =

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Apabila, hanya diketahui nilai a ialah suku pertama dan nilainya ialah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya yaitu:

$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$

Persamaan tersebut dapat dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh sebagai berikut: $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

Sisipan Aritmatika

Apabila kita hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan yang telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), bisa disisipkan sejumlah bilangan diantara kedua bilangan tersebut.

Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan mempunyai selisih antar suku yang beredekatan (b).

Baris aritmatika tersebut mempunyai jumah suku q + 2 dan apabila diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1) b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1) b) = p

Jadi, nilai b dapat ditentukan sebagai:

$b = \frac{p-a}{q+1}$

Contoh: misalkan a= 1 dan p = 9, apabila disisipkan 4 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya yaitu:

Nilai q = 4
Jumlah suku = q + 2 = 4 + 2 = 6
$b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2$
Baris aritmatika = 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah Aritmatika

Apabila barisan aritmatika mempunyai`1 jumlah suku ganjil, maka barisan tersebut akan memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika ialah suku ke- $\frac{1}{2}(n+1)$ .