Rumus Barisan Dan Deret Aritmatika dan Contoh Soal Aritmatika

Posted on

Rumusbilangan.com- Makalah materi tentang penjelasan tentang rumus barisan dan deret aritmatika serta cara menentukannya dan contoh soal aritmatika dengan pembahasannya.

Hallo sahabat, pada bab ini kita akan membahas materi tentang Penjelasan Tentang Rumus Barisan Dan Deret Aritmatika Serta Cara Menentukannya

Sahabat, pernahkan kalian menghitung jumlah uang saku kalian ketika sekolah, kira – kira setiap tahunnya jumlah uang saku kalian berbeda – beda. Apabila misal uang saku kalian waktu kelas satu SD adalah 2000, kemudian waktu kelas 2 SD adalah 4000, begitu seterusnya sampai kalian lulus.

Maka jumlah uang saku yang berbeda – beda tersebut bisa di bilang telah menggambarkan dari materi yang akan kita bahas pada bab ini, yaitu barisan aritmatika.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita simak artikel ini dengan seksama.

rumus aritmatika
Rumus Aritmatika

Pengertian Baris Aritmatika

Pengertian Barisan

Barisan adalah sebuah urutan dari suatu anggota-anggota himpunan yang berdasarkan suatu aturan tertentu. Pada setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya.

Untuk menyatakan sebuah urutan / suku ke-n dari suatu barisan dapat dinotasikan dengan lambang U_n .

Barisan juga bisa didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah merupakan himpunan bilangan asli. Sehingga, U_n = f(n)

barisan dan deret sebagai fungsi

Contoh:

Misalkan: U_n = (2n + 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut ialah U_4 = (2(4) + 1) = 9.

Pengertian Baris Aritmatika

Baris aritmatika adalah sebuah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan tersebut selalu sama yaitu b.

Maka:

Baca Juga :   Rumus Integral Trigonometri Dan Cara Menentukannya

U_n - U_{(n - 1)} = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, adalah baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika, dapat kita ketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b).

Rumusannya berikut ini:

U_n = U_k + (n - k)b

Apabila yang diketahui ialah nilai suku pertama U_k = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai U_n ialah:

U_n = a + (n - 1)b

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika ialah penjumlahan antar suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika tersebut dapat dihitung sebagai:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}

atau sebagai =

S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)

Apabila, hanya diketahui nilai a ialah suku pertama dan nilainya ialah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya yaitu:

S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)

Persamaan tersebut dapat dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1).

S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1).

S_n - S_(n-1) = U_n

Sehingga diperoleh sebagai berikut: U_n = S_n - S_(n-1).

Sisipan Aritmatika

Apabila kita hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan yang telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), bisa disisipkan sejumlah bilangan diantara kedua bilangan tersebut.

Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan mempunyai selisih antar suku yang beredekatan (b).

Baris aritmatika tersebut mempunyai jumah suku q + 2 dan apabila diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1) b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1) b) = p

Jadi, nilai b dapat ditentukan sebagai:

b = \frac{p-a}{q+1}

Contoh: misalkan a= 1 dan p = 9, apabila disisipkan 4 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya yaitu:

  1. Nilai q = 4
  2. Jumlah suku = q + 2 = 4 + 2 = 6
  3. b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2
  4. Baris aritmatika = 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah Aritmatika

Apabila barisan aritmatika mempunyai`1 jumlah suku ganjil, maka barisan tersebut akan memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika ialah suku ke-  \frac{1}{2}(n+1).

Baca Juga :   Bilangan Eksponen - Pengertian, Sifat, Fungsi, Rumus, Contoh

Apabila diselesaikan dalam rumus U_n = a + (n - 1)b, maka nilai suku tengahnya akan kita dapatkan sebagai berikut:

U_n = a + (n - 1)b

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b

= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b

= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}

Contoh Soal Aritmatika

Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

  • Diketahui bahwa U_5 = 42U_8 = 15, maka dapat digunakan sebuah rumus sebagai berikut:

U_n = U_k + (n - k)b

  • Yang mana:

U_8 = U_5 + (8 - 5)b

15 = 42 + (8 - 5)b

3b = -27

b = -9

  • Sehingga hasilnya:

U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36

78 = a

U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21

  • Sehingga dapat di peroleh:

S_{12} = \frac{n}{2} (a + U_12) = \frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342

Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Aritmatika. Semoga dapat bermanfaat ….

Baca Juga :

Rumus Integral Trigonometri Dan Cara Menentukannya
Determinan Matriks – Pengertian, Sifat-Sifat, dan Contoh Soal

Rumus Barisan Dan Deret Aritmatika dan Contoh Soal Aritmatika Rating: 5 Diposkan Oleh: Pelajar