Rumus Deret Aritmatika Dan Deret Geometri

Posted on

RumusBilangan.Com- Pada bab kali ini, kami akan mengajak sahabat semua untuk membahas materi mengenai rumus deret aritmatika dan deret geometri beserta contoh soalnya, yang mana semoga dapat membantu sahabat dalam memahami ilmu deret aritmatika dan geometri ini.

Deret Aritmatika Dan Geometri
Deret Aritmatika Dan Geometri

Untuk mempelajari materi ini, kita pelajari terlebih dahulu tentang pengertian deret aritmatik dan geometri ini.

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika ialah suatu penjumlahan suku – suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku – suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika ini bisa dihitung yaitu sebaga berikut:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}

atau bisa juga:

S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)

Namun, apabila hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya yaitu:

S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)

Persamaan tersebut diatas dapat dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1).

S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1).

S_n - S_(n-1) = U_n

Sehingga akan diperoleh U_n = S_n - S_(n-1).

Sisipan

Apabila kita hendak membuat sebuah baris aritmatika yang telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), maka dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara kedua bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku – suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku berdekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …., (a + q.b), (a + (q+1)b)

Dari urutan diatas dapat diketahui bahwa suku terakhir adalah:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai berikut:

b = \frac{p-a}{q+1}

Misalkan a= 1 dan p = 9, yang apabila disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya yaitu:

  1. Nilai q = 3
  2. Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
  3. b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2
  4. Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9
Baca Juga :   Pengertian Identitas Trigonometri Lengkap Dengan Rumusnya

Suku Tengah

Apabila barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka deret aritmatika memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke-  \frac{1}{2}(n+1). Apabila diselesaikan dalam sebuah rumus U_n = a + (n - 1)b, maka nilai suku tengah yang didapatkan yaitu:

U_n = a + (n - 1)b

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b

= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b

= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}

Deret Geometri

Deret geometri ialah suatu penjumlahan antara suku – suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n ini barisan geometri dapat dihitung sebagai berikut:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n

Atau dapat juga sebagai:

S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}

Apabila yang kita ketahui hanya nilai a yaitu suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah sebagai berikut:

S_n = a\frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}

dengan suatu syarat: 0 < r < 1.

Atau:

S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}

dengan suatu syarat r> 1.

Persamaan tersebut dapat dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

U_n = S_n - S_{(n - 1)}

Sisipan

Apabila hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), maka dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku – suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut mempunyai banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhirnya tersebut adalah:

ar(q+1) = p

Sehingga nilai r dapat ditentukan sebagai berikut:

r = \sqrt[q + 1]{\frac{p}{a}}

Selain penjelasa tentang deret arimatika dan deret geometri diatas, ada juga penjelasan materi tentang deret geometri tak hingga, yakni sebagai berikut:

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Deret geomteri ini dapat menjumlahkan antara suku – sukunya sampai menuju deret tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga yang mana n \rightarrow \infty, maka deret ini dapat dijumlah menjadi sebagai berikut:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdots

Atau bisa juga sebagai :

Baca Juga :   Rumus Sudut Berelasi Trigonometri Dan Contoh Soalnya

S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yakni konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen apabila penjumlahan dari suku – sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen yang apabila penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan cara mengunakan teori limit.

Nilai deret geometri yaitu:

S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}

Dimana terdapat suatu unsur r^n didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Apabila n \rightarrow \infty, maka untuk menentukan nilai r^n dapat menggunakan teori limit yaitu:

lim_{n \rightarrow \infty} r^n

dengan syarat: -1 < r < 1.

Serta:

lim_{n \rightarrow \infty} r^n = tak terbatas

dengan syarat yaitu r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit r^n tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai berikut:

S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n)}{(1 -r)} = a \frac{1 - 0}{1 - r} = \infty

dengan syarat -1 < r < 1

Serta:

S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n}{(1 - r)} = a \frac{(1 - \infty)}{(1 - r)} = \infty

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Demikianlah penjelasan mengenai deret aritmatik dan deret geometri serta ditambah dengan deret geometri tak hingga. Selanjutnya kita ke pembahasan soal dan pembahasannya agar kita bisa lebih dalam untuk memahami materi ini.

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Contoh Soal Untuk Deret Aritmatika

Sebuah deret aritmatika mempunyai suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Tentukanlah jumlah 12 suku pertama deret tersebut?

Pembahasan:

  • Diketahui bahwa U_5 = 42U_8 = 15, maka kita dapat menggunakan rumus :

U_n = U_k + (n - k)b

  • Yang mana:

U_8 = U_5 + (8 - 5)b

15 = 42 + (8 - 5)b

3b = -27

b = -9

  • Maka:

U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36

78 = a

U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21

  • Dan diperoleh:

S_{12} = \frac{n}{2} (a + U_12) = \frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342

2. Contoh Soal Untu Deret Geometri

Apabila suatu jumlah 2 suku pertama deret geometri yaitu 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut?

Pembahasan:

  • Diketahui bahwa:

S_2 = 6

6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)

serta

S_4 = 54

54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}

54 = a(1 + r)(1 + r^2)

  • Apabila kedua persamaan disubstitusikan, maka :

54 = a(1 + r)(1 + r^2)

54 = 6(1 + r^2)

9 = (1 + r^2)

r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}

dan

6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})

a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}

  • Sehingga hasilnya:

S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}

S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}

3. Contoh Soal Untuk Geometri Tak Hingga

Apabila \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, maka jumlah deret geometri tak hingga \frac{1}{p} + \frac{1}{pq} + \frac{1}{pq^2} + \frac{1}{pq^3} + \cdots  yaitu?

Pembahasan 3:

  • Diketahui bahwa:
Baca Juga :   Bilangan Pecahan - Pengertian, Jenis-Jenis, dan Contohnya

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}  atau  p + q = pq

  • Tentukan ratio deretnya yaitu:

 r = \frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = \frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}} = \frac{1}{pq} \times \frac{p}{1} = \frac{1}{q}

  • Maka jumlah deretnya yaitu dengan mensubstitusi p + q = pq adalah:

S = \frac{a}{(1 - r)} = \frac{\frac{1}{p}}{(1 - \frac{1}{q})} = \frac{\frac{1}{p}}{(\frac{q - 1}{q})} = \frac{1}{p} \times \frac{q}{q - 1} = \frac{q}{p(q - 1)}

S = \frac{q}{pq -p} = \frac{q}{(p + q) - p} = 1

Demikianlah pembahasan materi mengenai deret aritmatika dan deret geometri serta deret geometri tak hingga. Semoga bermanfaat …

Baca Juga: